发生概率对于任意正数,有该定理结果表明当重复独立实验的次数n充分大时,事件“频率与概率p的偏差小于”几乎必定要发生。这就是频率稳定性的真正含义。因而实际应用中只要试验次数充分大是,我们可以用事件的频率代替该事件概率。中心极限定律在相当一般的条件下,独立随机变量的个数不断增加时,其和的分布趋于正态分布。这反映了正态分布在概率中的重要性。而中心极限定理则指出了这些大量随机变量积累后的分布函数收敛到正态分布的条件。我们首先讨论独立同分布随机变量序列的情况,得出定理一:若随机变量X1、X2、…相互独立服从统一分布,且具有相同数学期望和方差,这随机变量之和的标准化变量的分布函数F(x)对任意x满足上式表明当n充分大时,n个随机变量之和的分布函数可通过正态分布近似求得,为对作理论分析和实际计算提供了便捷途径。同时,上述结果还可以变化成当n充分大时,近似于N(,/n),就是说独立同分布的随机变量X1、X2…的算术平均在n充分大是近似的服从均值为,方差为/n的正态分布。这一结果是数理统计中大样本统计推断的基础。定理二对相互独立随机变量X1、X2…,有数学期望和方差k=1,2…,记,存在正数,使得时,这随机变量的分布函数F(x)对于任意x满足,即n很大时随机变量之和近似服从正态分布。也就是说只要和式中加项的个数充分大,就可不必考虑和式中个随机变量服从什么分布,都可以用正态分布来近似。因而正态分布的广泛应用使得数理统计的分析变得相对简便。在实际应用中,我们知道许多随机变量石油大量相互独立的随机因素的综合影响所形成的。如在任一时刻一城市的总耗电量是大量用户耗电量的总和,二一个物理实验中的测量误差是由许多观察不到的、可加的微小误差所合成,它们都是近似服从正态分布的。由定理一推广可得定理三:设随机变量(n=1,2,…)服从参数为n,p(0<p<1)的二项分布,则对于任意x,有即对任意区间(a,b]有
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