ernoulliJohn提出了等角轨线问题:求这样的曲线和曲线族,使得它与某已知曲线族的每一条曲线都相交成给定的角度.当所给定等角轨线就称为正交轨线.等角轨线在许多学科如光学、天文、的角为直角时,气象中都有应用.这个问题一直到1697年都没有公开,那时John把它作为向James提出的一个挑战.James只解决了一些特殊的实例.John导出了一特殊曲线族的正交轨线的微分方程,并且在1698年解出了它.后来Leibniz找到了曲线族(是参数)的正交轨线即一族椭圆.虽然他只解出了特例,没有给出一般方法,但在他的解法中隐含了一般解法.l正交轨线问题一直处于沉寂状态,直到1715年,Leibniz向英国数学家,主要对准Newton提出挑战:找出求一已知曲线或曲线族的正交轨线的一般方法.Newton在造币厂,白天劳累之后,用睡觉前时间接触了这个问题,1716年发表了他的解答.Newton还指明了如何求与一已知曲线族相交成定角的曲线,或相交的角是按照给定的规律随族中曲线变化的曲线.虽然Newton用了二阶常微分方程,但他的方法与现代所用的方法没有太大的不同.关于这个问题的更进一步的工作是由BernoulliNicholas在1716年完成的.1717)给出了一般规则,此方法实际上是Leibniz年,HermannJ(BernoulliJohn的学生的,只不过Hermann阐述得更为明确而已.JohnBernoulli向英国人提出了另外一些轨线的难题,他特别讨厌的是Newton.由于英国人和欧洲大陆伙伴已经不和,所以挑战是冷酷的且充满敌意.l1754年,LagrangeJ在``等时曲线问题"上取得重要进展,并开创了变分学.起初,数学家们只是用特殊的方法和技巧解决特殊的方程,然后才逐渐开始寻找带有普遍性的方法.变量分离法";首次应l1691年,LeibnizG提出了求解了变量可分离方程的"
全文预览
