形的面积就越来越接近v(t)曲线下面的面积(图A-10d).所以(A.47)式中的极限值等于(tb-ta)区间内v(t)曲线下的面积.总之,在变速直线运动中,物体在任一段时间间隔(tb-ta)里走过的路程要用(A.47)式来计算,这个极限值的几何意义相当于这区间内v(t)曲线下的面积.(2)变力的功当力与物体移动的方向一致时,在物体由位置s=sa移到s=sb的过程中,恒力F对它所作的功为:A=F(sb-sa)(A.48);若力F是随位置变化的,即F是s的函数:F=F(s),则不能运用(A.48)式来计算力F的功.此时,也需要象计算变速运动的路程那样,把(sb-sa)这段距离分割成n个长度为△s的小段(见图A-11):并把各小段内力F的数值近似看成是恒定的,用恒力作功的公式计算出每小段路程△s上的功,然后加起来取n→∞、△s→0的极限值.具体地说,设力F在各小段路程内的数值分别为F(s1)、F(s2)、F(s3)、…、F(sn),则在各小段路程上力F所作的功分别为F(s1)△s、F(s2)△s、F(s3)△s、…、F(sn)△s,在(sb-sa)整段路程上力F的总功A就近似地等于;因为实际上在每一小段路程上加都是变化的,所以严格地计算,还应取n→∞、△s→0的极值,即,(A.49).同上例,这极限值应是(sb-sa)区间内F(s)下面的面积(见图A-12).5.2定积分以上两个例子表明,许多物理问题中需要计算象(A.47)和(A.49)式中给出的那类极限值.概括起来说,就是要解决如下的数学问题:给定一个函数f(x),用x=x1(=a)、x2、x3、…、xn、b把自变量x在(b-a)区间内的数值分成n小段,设每小段的大小为△x,求n→∞、△x→0时的极限;通常把这类形式的极限用符号来表示,即,(A.50);叫做到区间内对的定积分,叫做被积函数,b和a分别叫做定积分的上限和下限.
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