期即可,见上图中下面的结果。(2)设O处质点振动方程为可知:时,O处质点由平衡位置向下振动,由旋转矢量图知,图13-6(3)波动方程为:即注意:由波形图建立波动方程的程序。§13-4波的能量能流密度波的传播过程就是振动的传播过程。波到哪里,哪里的介质就要发生振动,因而具有动能;同时由于介质元的变形,因而具有势能,因此波传到哪里,哪里就有机械能。这些机械能来自于波源。可见,波的传播过程即是振动的传播过程,又是能量传递过程。在不传递介质的情况下而传递能量是波动的基本性质。一、波的能量下面以简谐纵波在一棒中沿棒长方向传播为例,推导出波的能量公式。如图所示,取x轴沿棒长方向,设波动方程为在波动过程中,棒中每一小段将不断地压缩和拉伸。图13-7在棒上任取一体积元BC,体积,棒在平衡位置时,B、C坐标分别为,,即BC长为。设棒的横截面积为,质量密度为,体积元能量为动能势能设时刻,A、B端位移分别为、,∴体积元伸长量为。设在体积元端面上由于形变产生的弹性恢复力大小为,可知,协强为,协变为,由杨氏弹性模量定义有:(为杨氏弹性模量)按胡克定律,在弹性限度内弹性恢复力值为由上二式有:∵∴∵∴应写成,可有可得(13-7)讨论:(1)任一时刻体积元动能与其势能总是相等,(2)波动中体积元的能量与单一谐振动系统的能量有着显著的不同。在单一谐振动的系统中,动能和势能相互转化,动能最大时,势能最小,势能最大时,动能最小,系统机械能守恒。在波动情况下,任一时刻任一体积元的动能与势能总是随时间变化的,变化是同步的,值也相等,这说明体积元总能量不能为常数,即能量不守恒(体积元)(3)波动中体积元能量不守恒原因:每个体积元都不是独立地做谐振动,它与相邻的体积元间有着相互作用。因而相邻体积元间有能量传递,沿着波传播方向,某体积元从前面介质获得能量,又把能量传递给后面介质,这样,通过体积元不断地吸收和不断传递能量,
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