)通过表示边长之间的关系列方程,易得t的值.解:(1)如图1,设⊙O与AB、BC、CA的切点分别为D、E、F,连接OD、OE、OF,则AD=AF,BD=BE,CE=CF.∵⊙O为△ABC的内切圆,∴OF⊥AC,OE⊥BC,即∠OFC=∠OEC=90°.∵∠C=90°,∴四边形CEOF是矩形,∵OE=OF,∴四边形CEOF是正方形.设⊙O的半径为rcm,则FC=EC=OE=rcm,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4cm,BC=3cm,∴AB==5cm.∵AD=AF=AC﹣FC=4﹣r,BD=BE=BC﹣EC=3﹣r,∴4﹣r+3﹣r=5,解得r=1,即⊙O的半径为1cm.(2)如图2,过点P作PG⊥BC,垂直为G.∵∠PGB=∠C=90°,∴PG∥AC.∴△PBG∽△ABC,∴.∵BP=t,∴PG=,BG=.若⊙P与⊙O相切,则可分为两种情况,⊙P与⊙O外切,⊙P与⊙O内切.①当⊙P与⊙O外切时,如图3,连接OP,则OP=1+t,过点P作PH⊥OE,垂足为H.∵∠PHE=∠HEG=∠PGE=90°,∴四边形PHEG是矩形,∴HE=PG,PH=CE,∴OH=OE﹣HE=1﹣,PH=GE=BC﹣EC﹣BG=3﹣1﹣=2﹣.在Rt△OPH中,由勾股定理,,解得t=.②当⊙P与⊙O内切时,如图4,连接OP,则OP=t﹣1,过点O作OM⊥PG,垂足为M.∵∠MGE=∠OEG=∠OMG=90°,∴四边形OEGM是矩形,∴MG=OE,OM=EG,∴PM=PG﹣MG=,OM=EG=BC﹣EC﹣BG=3﹣1﹣=2﹣,在Rt△OPM中,由勾股定理,,解得t=2.综上所述,⊙P与⊙O相切时,t=s或t=2s.点评:本题考查了圆的性质、两圆相切及通过设边长,表示其他边长关系再利用直角三角形求解等常规考查点,总体题目难度不高,是一道非常值得练习的题目.27.(2014年江苏南京)【问题提出】
全文预览
