的介值定理、[m,M]上的介值定理、上的介值定理以及上的介值定理,其中m,M分别为函数在闭区间上的最小值和最大值。此处假设,若,则相应地将区间改为和。为了使各位更好地掌握这四个定理的使用方法,文都考研数学辅导老师在这里向大家进一步列举几个典型例题,供各位考生参考。如果想详细地了解连续函数的介值定理的四种不同情形(四个定理),请参见前一篇文章“考研数学:连续函数介值定理的四种情形分析”。在分析典型例题之前,首先说明一点:在很多场合下,连续函数的介值定理常常结合微分中值定理一起使用。典型例题分析例1.设函数,证明:对任意的,存在,使分析:题目中仅仅涉及多个点的函数值的情况,可以考虑利用连续函数的介值定理进行证明解析:设m,M分别为函数在闭区间上的最小值和最大值,则,于是,由介质定理可得:,使例2.设,在内可导,且,证明:,使得,分析:要证明某点的一阶导数为0,常用罗尔定理,为此需找到函数值相等的两点,根据条件可以利用介值定理。证:在闭区间上连续,设其最大值和最小值分别为和,则,根据介值定理知,存在,使,即,于是,由罗尔中值定理得,存在,使得例3.设在上连续,在内可导,,证明:对于任意给定的正数,存在,使证明:∵,∴由介值定理得知存在,使,分别在区间上运用拉格朗日中值定理知,存在,使得,由此可得证附:关于为何要找一点,使的分析:题目要证的结论中包含两个中间点,因此要用两次中值定理,而条件只给出了两个点的函数值,因此还要再找一个点,假设此点是,利用两次中值定理可得如上所示的两个等式,然后分别将带入要证的结论中得:,将此式化成整式并进行因式分解可得,于是上面就是考研数学中关于介值定理的不同使用方法及典型例题分析,供考生们参考借鉴。在以后的时间里,文都考研数学辅导老师还会陆续向考生们介绍考研数学中其它题型和解题方法的分析,希望各位考生留意查看。最后预祝各位学子在2015考研中取得佳绩。
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