,总有。附:应用,此时是下凸函数,可得倒数平方和的不等式,等号成立条件。而与此对应的另一个倒数和再平方的不等式,是利用调和平均和平方平均的关系,得到的,等号成立条件。加权形式:常用不等式:解方程组有小于1的正数设已知求证:例7证明:方程例8.求证:例9.已知正数列,对大于1的,有例10.若,求的最小值例11.用琴生不等式证明均值不等式,即:.例12,且a+b+c=3,求证:.例13.定义在(a,b)上,在(a,b)上恒大于0,且对有.一、函数的凹凸性:定义:设连续函数的定义域为(a,b),如果对于(a,b)内任意两数x1,x2,都有?①则称为(a,b)上的下凸函数.注:1.若把①式的不等号反向,则称这样的为区间(a,b)上的上凸函数.(或凹函数)2.下凸函数的几何意义:过曲线上的任意两作弦,则弦的中点必在该曲线的上方(或曲线上).二、琴生不等式:若是区间(a,b)上的凸函数,则对任意的点x1,x2,…,xn(a,b),有取“=”条件:x1=x2=…=xn注:更一般的情形:设是定义在区间(a,b)上的函数,如果对于(a,b)上任意两点x1,x2,有(其中),则称是(a,b)上的下凸函数.其推广形式,即加权的琴生不等式:设,若是区间(a,b)上的下凸函数,则对任意的x1,x2,…,xn(a,b)有.取“=”条件:说明:以上各不等式反向,即得凹函数的琴生不等式.证明:(1)在上是上凸函数(2)在上是上凸函数(3)上是下凸函数证明:(1)对(2)对即:.(3)当时(∵)即:.用琴生不等式证明均值不等式,即:.证:∵设,则为上的上凸函数由琴生不等式:即例3,且a+b+c=3,求证:.证明:设,则上的凹函数.由琴生:∴.例4定义在(a,b)上,在(a,b)上恒大于0,且对有.求证:当时,有.证明:由题:对,有,两边取常对:则有即于是:令,则为(a,b)上的凸函数由琴生不等式:对,有即.
全文预览
