和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?20.【解析】(1)由n次独立重复事件的概率计算得,且,时,得.又当时,,单调递增;当时,,单调递减,所以是在上唯一的极大值点,也是最大值点,即.(2)(ⅰ)已检验的20件产品的检验费用为元.该箱余下的产品的不合格品件数服从二项分布,估计不合格品件数为,若不对该箱余下的产品作检验,余下的产品的赔偿费用估计为元.所以,若不对该箱余下的产品作检验,则.(ⅱ)若对该箱余下的产品都作检验,则只需支付检验费用,.因为,所以应该对这箱余下的所有产品都作检验.21.(12分)已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若存在两个极值点,证明:.21.【解析】(1)令,.①时,,恒成立,所以在定义域上始终单调递减.②或时,.由即解得,且.时,,恒成立,所以在定义域上始终单调递减.时,,在上,单调递减;在上,单调递增.综上所述,时,在定义域上始终单调递减;时,在上递减,在上递增.(2)证明:方法1:由(1)知时存在两个极值点,且.欲证明等价于证明.即证明,其中是方程的两个根.令,则满足,即.,,在上为减函数.因为,所以,即,得证.方法2:由(1)知,,,从而有.,要证明等价于证明,即证明.,只需证明,即证明成立即可.令,则,在上为减函数.所以,根据,证得成立,得证.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系中,曲线的方程为.以坐标原点为极点,轴正半轴为机轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求的直角坐标方程;(2)若与有且仅有三个公共点,求的方程.22.【解析】(1),所以的直角坐标方程为;xO2y(2)曲线:,其图像是关于轴对称且以为端点的两条射线.:,其图像是以为圆心,半径为2的圆.若与有且仅有三个公共点,则且与相切(如图).
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