……………10分∵,在上的最小值为。∴时,。∴…………②…………………………15分由①、②,解得,。∴,。…………………………20分12.如图,在圆内接四边形中,,是边的中点,点在对角线上,且满足。求证:。【解答】∵,∴。∴。又,∴。(第12题图)∴…………①。……………………5分设、相交于点,∵,。∴。∴。…………………②……………………10分又为边中点,(第12题答题图)∴,结合①,得。结合②,得,∴。……………………15分∴,即。……………………20分13.已知关于的方程的两根都是素数,求的值。【解答】设方程的两根分别为、,则由韦达定理,知,。∴…………①……………………5分显然,都不等于2,因此,,都是奇数。∴。……………………10分若,中有一个数为奇数,不妨设为奇数,则,其中,2,3,4。当时,,不是素数,舍去;当时,,不是素数,舍去;当时,,不是素数,舍去。当时,是素数。此时,,,也是素数。∴,,,符合要求。……………………15分若,都是偶数,则,不妨设,则当,时,,,不是素数,舍去;当,时,,,,都是素数;当,时,,,,都不是素数,舍去;∴,,,符合要求。综上所述,,或。……………………20分14.一个由个单位小方格组成的的方格表中的个小方格被染成了红色,使得任意两个红色小方格的中心之间的距离大于2,求的最大值。【解答】的最大值为。先考虑一个的方格表,其中有个小方格被染成了红色,使得任意两个红色小方格的中心之间的距离大于2,由枚举可以知道,的最大值为2。…………………10分并且只有如下图所示的两种情况(包括对称的情形)。将一个的方格表分成4个的方格表,由于每个的方格表中至多有2个红色小方格,于是。…………………………15分另一方面,如下图所示的染色恰有8个红色小方格,并且任意两个红色小方格的中心之间的距离大于2。综上所述,的最大值为。…………………………20分
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