成立,其中,为不超过的最大整数。Р(1)求的最小值;Р(2)当取最小值时,求使成立,且的正整数的个数。Р【解答】(1)∵对任意正整数,,,,。Р…………………… 5分Р∴对任意正整数,。Р∵存在正整数,()使得成立,Р∴存在正整数,使得。Р于是,,。Р又时,,Р∴的最小值为12。…………………… 10分Р(2)时,由知Р,,,。Р∴(为非负整数)。Р∴当取最小值12时,当且仅当(为非负整数)时,Р成立。…………………… 15分Р由知,。Р因此,符合条件的正整数有个。…………………… 20分Р Р14.将平面上每个点都以红、蓝两色之一染色。证明:Р(1)对任意正数,无论如何染色平面上总存在两个端点同色且长度为的线段;Р(2)无论如何染色平面上总存在三个顶点同色的直角三角形;Р(3)无论如何染色,平面上是否总存在三个顶点同色且面积为2017的直角三角形?Р【解答】(1)在平面内任作一个边长为的等边。则的三个顶点、、中必有两点同色。Р所以,存在两端点同色,且长为的线段。Р因此,对任意正数,无论如何染色平面上总存在两个端点同色且长度为的线段。Р…………………………………………… 5分Р(2)对任意正数,如图,设、同色,且(由(1)知,、存在)。Р以为直径作圆,设为圆的内接正六边形。Р若、、、中存在一点与、同色,不妨设点与、同色,则为直角三角形,其中,,且三顶点同色。Р……………………… 10分Р若、、、都与、异色,则、、、四点同色.则为直角三角形,其中,,且三顶点同色。Р因此,无论如何染色平面上总存在三个顶点同色的直角三角形。……………… 15分Р(3)由(2)知,对任意正数,无论如何染色总存在斜边长为,有一个内角为,且三个顶点同色的直角三角形。Р当时,该三角形面积。Р因此,无论如何染色,平面上总存在三个顶点同色且面积为2017的直角三角形。Р……………………………………… 20分
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