下分布是完全可积的?定理:一个分布当且仅当它是对合的,则是完全可积的。该定理的证明应分两部分,即需证明条件的必要性与充分性。必要性:即若这样的解存在,(即是完全可积的)来推导出是对合的。即若已知=则有1≤≤,1≤≤采用李导数记号即:再由李括号运算法则可得:由于上式中的两项为零。故有则构造:=因为已知=所以所有一定是中的一个向量,根据对合分布的判别法则可知是对合的。充分性:充分性可以从构造上来证明,即若条件满足,偏微分方程的个独立函数是如何一定能被构造出来的。因为分布对应的子空间是非奇异的,且其维数为,于是总可以找到另外的同样定义在开集上的向量场集合,它是原来向量场集合的补集,即在每一点,有并假设向量场中的函数均是光滑的,再令是常微分方程在初始条件下的解。即,它是和的光滑函数,换句话说,它满足,。可以称为流函数。因此,对任意给定的,以及的领域上的任意,总可以找到充分小的,使下列映射关系成立,它是一个局部微分同胚映射,所以其逆映射也存在,即。因此对于充分小的,,有成立。这样偏微分方程的解可以用向量场的流函数的恰当组合来构成,这些流函数是,。现在来考虑映射,()。其中,记号““表示”“恰当的组合”。若充分的小,则可以证明这个映射具有下列特点:它定义在所有上,并且是微分同胚映射,因而与是微分同胚。对所有,它的雅可比阵,其前面的列是中的线性独立向量。因为是映射的象域,是的一个开邻域。而若就是点的象(或值),则由特性(1)知是微分同胚映射,则存在,且也是光滑的、可微的。设,其中是定义在上的实值函数,则可以断言这些函数最后面的个函数,就是偏微分方程的个独立解。为什么可以作此断言?因为由定义可知,,对所有及所有成立,其中是单位阵。而由上述特点(2)可知,的前列,构成分布在点的基。所以微分就构成了分布在点的子空间的零化向量。换句话说,若令,则。即这些函数就是偏微分方程个独立解。从而充分性得证
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