中值定理Р,Р其中Р从而Р定理1 若函数及在矩形上连续,为一个常数,且,函数在上可导,当时,则函数Р在上可导,且Р证明:设是关于的一个原函数,则Р,,Р从而Р=Р=Р =Р=Р推论 1Р其中,同定理1中所满足的条件。Р推论 2 Р=Р2.2含参变量的有限重积分函数的定义及其分析性质Р2.2.1含参变量的有限二重积分函数定义及其分析性质Р定义2 设是定义在闭长方体区域=上的三元函数,当上取某定值,函数就是定义在上的以为自变量的一元函数,倘若这时在上可积,则其积分值是在有界区域上取值的二元函数,记它为,则有Р (1)Р我们把形如(1)的函数叫做二元含参变量积分函数。Р定义3 设区域,,如果,,使得对任意的点,,并且当Р时,有Р则称在上一致连续。Р引理 1 若函数在有界闭区域上连续,则函数在上一致连续。Р引理 2 若函数是定义在有界闭区域上的连续函数,那么该函数必在有界区域上可积。Р定理2(连续性) 若三元函数在闭长方体区域上连续,则函数Р在区域上连续。Р证明:设,对充分小的,,令(若为矩形区域的边界,则仅考察的情形),于是Р Р由于在有界闭区域连续,从而一致连续。Р即对,。对内任意两点,,只要Р,Р就有Р Р所以由,可推的:当时,令Р这就证得在上连续。Р注对于定理 1 的结论也可以写成如下的形式:Р若在闭长方体区域上连续,则对Р,都有Р 定理3 若函数与其偏导数与Р都在闭长方体区域上连续,则Р分别关于,在区域上可微,且Р Р Р证明只证明其中之一,另一个可类似证明,证明。Р对区域内任一点,设Р,则Р=Р由微分中值定理及在有界闭区域上连续(从而一致连续),对,只要时,就有Р=Р其中,因此Р这就证得对,有Р定理4 (可微性) 二元含参积分函数Р在点可微当且仅当在处偏导都存在,且,,当时,有Р证明(必要性) 已知函数在点处可微,故,都存在,且Р其中Р于是Р==Р Р令式,则当Р时,有
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