问题称为优化问题,优化问题也称为最值问题.解决这些问题具有非常现实的意义.这些问题通常可以转化为数学中的函数问题,进而转化为求函数的最大(小)值问题.下面我们利用导数来解决生活中最大经济效益、资源的合理利用、器具制造、变路移址等一系列问题,解决以上问题首先是如何转化特定的数学问题,然后再利用导数去分析、解决、最后通过计算结果来推出所研究问题的结论。下面举例对其进行具体分析。4.1导数在生产利润问题中的应用例10现要生产某种洗衣机,若已知设该洗衣机的售价为元,年需求量为台则其成本函数为,经过市场研究发现,这种洗衣机年需求量,那么销售量及售价为多少时是利润最大解由题意知,则,设总的利润函数为,总的收入函数为所以若销售量为,则销售函数为⑷对⑷式求导令求得是函数的唯一驻点,所以是利润函数的的极大值点,当时,最大利润为售价为=5950例11[6]某公司为了生产某小型卡尺,购置机器等基础设施费用6000元,生产一只卡尺至少平均消耗等一切成本20元,销售部保证每年卡尺=利润函数为至少10000只,售价50元,如果欲使每年的销售额增加,根据市场的调查可推知销售每年增加2000只要相应的使价格降低2元,假设这种商品生产量与销售量相等,分析年产量为多少时公司获利最大?解:设卡尺的年产量为只,有题可知成本函数,由于每年销售卡尺10000只,所以价格其中,收入函数,可得利润函数为作为生产厂家一定会在利润比小于0的状态下进行生产,即且收入函数一定要满足。从而得到产量取值范围。欲使最大,只需满足,即只,此时,是区间内唯一驻点,所以是利润达到最大。4.2导数在资源的合理利用中的应用例12某宾馆有60间客房,已知每间客房每天100元将全部租出,所租房间店主每天需支付10的水电费,若每间房每天多收10元,则有一间房间不能租出,试求每天租金定为多少,才能是店主所获利润最大?解设每间房每天租金为元,则成本函数为
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