白球的概率是多少?(2)如发现这球是白球,问原先从两个袋子中取出的是相同颜色球的概率是多少? Р【解】设表示“从第个袋子取出白球”,,表示“从两个球中最后取出一球为白球”,Р(1)构造完备事件组,由全概率公式Р;Р(2)所求为,由条件概率的加法公式及贝叶斯公式Р.Р3.设随机变量的概率密度为(Ⅰ),求常数的值;(II)求的分布函数。Р【解】(Ⅰ)显然;Р(II)Р4.设二维随机变量的概率密度为Р,,.Р求常数.Р【解】Р,Р,,.Р5.设二维随机变量的概率密度为Р求:(Ⅰ)的边缘概率密度;(Ⅱ)条件密度;Р(Ⅲ)的概率密度;(IV).Р【解】(Ⅰ)Р(Ⅱ)Р(Ⅲ)的分布函数,Р,Р的分布函数Р的概率密度Р(IV)。Р6.设二维随机变量在区域上服从均匀分布,记,求:Р(Ⅰ)的联合分布; (Ⅱ)当时的概率分布; (Ⅲ)与的相关系数,并问与是否不相关?Р【解】(Ⅰ)Р Р0Р1Р0Р1/4Р1/2Р3/4Р2Р0Р1/4Р1/4Р1/4Р3/4Р1Р(Ⅱ);Р(Ⅲ),Р与不是不相关。Р7.设总体,为来自总体的一个简单随机样本,分别为其样本均值和样本方差.Р(Ⅰ)证明对任意的常数,是的无偏估计;Р(Ⅱ)求常数,使得达到最小值.Р【解】(Ⅰ),Р,Р所以是的无偏估计;Р(Ⅱ)由于总体,正态总体之下,相互独立,且Р;Р,,Р,Р时,达到最小值。Р8. 设总体,其中是未知参数,利用Р总体的样本值Р,Р求的矩估计值和极大似然估计值.Р【解】由题意知,Р,Р,Р由,即,故解得的矩估计值为。Р由于样本值为,故似然函数为Р,Р所以Р,Р,Р令,解得.Р因为不合题意,所以的极大似然估计值为.Р9.设总体的分布函数为,其中未知参数,为其样本,求的矩估计和极大似然估计.Р【解】先求出密度函数, (),,Р 令,得的矩估计量;Р的似然函数为,Р,令Р,,Р解得的似然估计值为,Р从而得的极大似然估计量为。
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