2,类似地可以列举各种情况如表18.3.Р 这时满足条件的三角形总数为:1+2=3.Р (3)设b=n=3,类似地可得表18.4.Р 这时满足条件的三角形总数为:1+2+3=6.Р 通过上面这些特例不难发现,当b=n时,满足条件的三角形总数为:Р 这个猜想是正确的.因为当b=n时,a可取n个值(1,2,3,…,n),对应于a的每个值,不妨设a=k(1≤k≤n).由于b≤c<a+b,即n≤c<n+k,所以c可能取的值恰好有k个(n,n+1,n+2,…,n+k-1).所以,当b=n时,满足条件的三角形总数为:Р 例4 设1×2×3×…×n缩写为n!(称作n的阶乘),试化简:1!×1+2!×2+3!×3+…+n!×n. Р 分析与解先观察特殊情况:Р (1)当n=1时,原式=1=(1+1)!-1;Р (2)当n=2时,原式=5=(2+1)!-1;Р (3)当n=3时,原式=23=(3+1)!-1;Р (4)当n=4时,原式=119=(4+1)!-1.Р 由此做出一般归纳猜想:原式=(n+1)!-1. Р 下面我们证明这个猜想的正确性.Р 1+原式=1+(1!×1+2!×2+3!×3+…+n!×n)Р =1!×2+2!×2+3!×3+…+n!×nР =2!+2!×2+3!×3+…+n!×nР =2!×3+3!×3+…+n!×nР =3!+3!×3+…+n!×n=…Р =n!+n!×n=(n+1)!,Р 所以原式=(n+1)!-1. Р 例5 设x>0,试比较代数式x3和x2+x+2的值的大小.Р 分析与解本题直接观察,不好做出归纳猜想,因此可设x等于某些特殊值,代入两式中做试验比较,或许能启发我们发现解题思路.为此,设x=0,显然有Рx3<x2+x+2.①Р 设x=10,则有x3=1000,x2+x+2=112,所以Рx3>x2+x+2.②Р 设x=100,则有x3>x2+x+2.
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