折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F在AB上,是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x(cm).Р(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?Р(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.Р考点:Р函数模型的选择与应用.1384631Р专题:Р应用题.Р分析:Р(1)可设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm),写出a,h与x的关系式,并注明x的取值范围.再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积S关于x的函数解析式,最后求出何时它取得最大值即可;Р(2)利用体积公式表示出包装盒容积V关于x的函数解析式,最后利用导数知识求出何时它取得的最大值即可.Р解答:Р解:设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm),则a=x,h=(30﹣x),0<x<30.Р(1)S=4ah=8x(30﹣x)=﹣8(x﹣15)2+1800,Р∴当x=15时,S取最大值.Р(2)V=a2h=2(﹣x3+30x2),V′=6x(20﹣x),Р由V′=0得x=20,Р当x∈(0,20)时,V′>0;当x∈(20,30)时,V′<0;Р∴当x=20时,包装盒容积V(cm3)最大,Р此时,.Р即此时包装盒的高与底面边长的比值是.Р点评:Р考查函数模型的选择与应用,考查函数、导数等基础知识,考查运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力.属于基础题.Р Р18.如图,在平面直角坐标系xOy中,M、N分别是椭圆的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P,A两点,其中点P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为kР(1)若直线PA平分线段MN,求k的值;Р(2)当k=2时,求点P到直线AB的距离d;Р(3)对任意k>0,求证:PA⊥PB.
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