上可知,满足要求的三个自然数是可以存在的,例如取a=2,b=3,c=13,则2×3+10=42,2×13+10=62,3×13+10=72.Р即2,3,13是满足题意的一组自然数.Р⑵由上证可知不存在满足要求的四个不同自然数.Р这是因为,任取4个不同自然数,若其中有4的倍数,则它与其余任一个数的积加10后不是完全平方数,如果这4个数都不是4的倍数,则它们必有两个数mod 4同余,这两个数的积加10后不是完全平方数.Р故证.Р2010年全国高中数学联赛Р江苏赛区·初赛Р一、填空题(本题满分70分,每小题7分)Р1.方程的实数解为.Р2.函数R的单调减区间是.Р3.在△中,已知,,则= .Р4.函数在区间上的最大值是,最小值是.Р5.在直角坐标系中,已知圆心在原点、半径为的圆与△的边有公共点,Р其中、、,则的取值范围为.Р6.设函数的定义域为R,若与都是关于的奇函数,则函数Р在区间上至少有个零点. Р(第7题)Р7.从正方体的条棱和条面对角线中选出条,使得其中任意Р两条线段所在的直线都是异面直线,则的最大值为.Р8.圆环形手镯上等距地镶嵌着颗小珍珠,每颗珍珠镀金、银两色中的一种.其中Р镀金银的概率是.Р9.在三棱锥中,已知, Р,且.已知棱的长为,则此棱锥的体积为. Р10.设复数列满足,,且.若对任意N* 都有,Р则的值是.Р二、解答题(本题满分80分,每小题20分)Р11.直角坐标系中,设、、是椭圆上的三点.若,证明:的中点在椭圆上.Р12.已知整数列满足,,前项依次成等差数列,从第项起依次Р成等比数列.Р (1) 求数列的通项公式;Р (2) 求出所有的正整数,使得.Р13.如图,圆内接五边形中,是外接圆的直径,,垂足. Р过点作平行于的直线,与直线、分别交于点、. Р证明: (1) 点、、、共圆; Р (2) 四边形是矩形.Р14.求所有正整数,,使得与都是完全平方数.
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