; ⑶点P在抛物线的对称轴x=1上运动,请探索:在x轴上方是否存在这样的P点,使以P为圆心的圆经过A、B两点,并且与直线CD相切,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。Р 【例5】解:(1)由抛物线的顶点是M(1,4),设解析式Р 为y=a(x-) 又抛物线经过点N(2,3), 12+4 (a<0)Р 所以3=a(2-)12+4 解得a=-1Р 1+4=-x+2x+3.令y=0, 所以所求抛物线的解析式为y=-(x-)Р 得-x+2x+3=0, 解得:x1=-,1 x2=3.得A(-1,0) B(3,0) ;Р 令x=0,得y=3,所以 C(0,3). 222Р ?t=3(2)直线y=kx+t经过C、M两点,所以?即k=1,t=3 直线解析式为y=x+3. 令y=0, k+t=4?Р 得x=-3,故D(-3,0) CDР =连接AN,过N做x轴的垂线,垂足为F. 设过A、N两点的直线Р ?-m+n=0的解析式为y=mx+n, 则?解得m=1,n=1 所以过A、N两点的直线的解析式为y=x+1Р ?2m+n=3Р 所以DC∥AN. 在Rt△ANF中,AN=3,NF=3,所以ANР =所以DC=AN。Р 因此四边形CDAN是平行四边形.Р (3)假设在x轴上方存在这样的P点,使以P为圆心的圆经过A、B两点,并且与直线CD相切,设P(1,u) 其中u>0,则PA是圆的半径且PA=u+2过P做直线CD的垂线,垂足为Q,则PQ=PA时以P为圆心的圆与直线CD相切。由第(2)小题易得:△MDE为等腰直角三角形,故△PQM也是等腰直角三角形,由P(1,u)Р 2(4-u)22=u2+Р 22,解得u=-4±得PE=u, PM=|4-u|, PQР PQ=PA得方程:2舍去负值uР =-4-,符合题意的uР =-4+所以,满足题意的点P存在,其坐标为(1Р ,. -4+222 3
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