,最小元是2Р四、证明题Р 1.试证明集合等式:AÈ (BÇC)=(AÈB) Ç (AÈC).Р证:设,若x∈AÈ (BÇC),则x∈A或x∈BÇC,Р即 x∈A或x∈B 且 x∈A或x∈C.Р即x∈AÈB 且 x∈AÈC ,Р即 x∈T=(AÈB) Ç (AÈC),Р所以AÈ (BÇC)Í (AÈB) Ç (AÈC). Р反之,若x∈(AÈB) Ç (AÈC),则x∈AÈB 且 x∈AÈC,Р 即x∈A或x∈B 且 x∈A或x∈C,Р即x∈A或x∈BÇC,Р即x∈AÈ (BÇC),Р所以(AÈB) Ç (AÈC)Í AÈ (BÇC).Р 因此.AÈ (BÇC)=(AÈB) Ç (AÈC).Р2.试证明集合等式AÇ (BÈC)=(AÇB) È (AÇC).Р证明:设S=A∩(B∪C),T=(A∩B)∪(A∩C), 若x∈S,则x∈A且x∈B∪C,即 x∈A且x∈B 或 x∈A且x∈C,Р 也即x∈A∩B 或 x∈A∩C ,即 x∈T,所以SÍT. Р 反之,若x∈T,则x∈A∩B 或 x∈A∩C,Р 即x∈A且x∈B 或 x∈A且x∈CР 也即x∈A且x∈B∪C,即x∈S,所以TÍS.Р 因此T=S. Р 3.对任意三个集合A, B和C,试证明:若AB = AC,且A,则B = C. Р 证明:设xÎA,yÎB,则<x,y>ÎA´B, Р 因为A´B = A´C,故<x,y>Î A´C,则有yÎC, Р 所以B Í C. Р 设xÎA,zÎC,则<x,z>Î A´C, Р 因为A´B = A´C,故<x,z>ÎA´B,则有zÎB,所以CÍB. Р 故得A=B. Р4.试证明:若R与S是集合A上的自反关系,则R∩S也是集合A上的自反关系.РR1和R2是自反的,"x ÎA,<x, x> Î R1,<x, x> ÎR2,则<x, x> Î R1∩R2, Р所以R1∩R2是自反的.
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