y 与m 无关,显然当 x 2﹣ 2x ﹣ 3=0 时, y 与m 无关, 解得: x=3 或 x=﹣1 ,当 x=3 时, y=4 ,定点坐标为( 3,4) ;当 x=﹣1 时, y=0 ,定点坐标为(﹣ 1,0), ∵P 不在坐标轴上, ∴P(3,4);(3 )解: | AB |=|x A﹣x B|=====||=| ﹣4|,∵<m≤8,∴≤<4,∴﹣≤﹣4<0,∴0<|﹣4|≤,∴| AB | 最大时, ||= ,解得: m=8 ,或 m= (舍去),∴当 m=8 时, | AB | 有最大值, 此时△ ABP 的面积最大,没有最小值,则面积最大为: | AB |y P= ×× 4= . 11 .已知二次函数的顶点坐标为(﹣,﹣) ,与 y 轴的交点为( 0,n﹣m) ,其顶点恰好在直线 y=x +(1﹣m )上(其中 m、n 为正数). (1 )求证:此二次函数的图象与 x 轴有 2 个交点; (2 )在 x 轴上是否存在这样的定点:不论 m 、n 如何变化,二次函数的图象总通过此定点?若存在,求出所有这样的点;若不存在,请说明理由. 【解答】(1 )证明:把(﹣,﹣)代入 y=x +(1﹣m )得﹣+(1﹣m)=﹣, 整理得 m 2﹣ mn +m ﹣ n=0 ,∵(m ﹣n )(m +1 ) =0 ,∴ m=n 或 m= ﹣1 (舍去), ∴二次函数的顶点坐标为(﹣,﹣) ,与 y 轴的交点为( 0,0),∵m 为正数, ∴二次函数的顶点在第四象限,而抛物线过原点, ∴抛物线开口向上, ∴此二次函数的图象与 x 轴有 2 个交点;(2 )解:存在. ∵抛物线的对称轴为直线 x= ﹣,抛物线与 x 轴的一个交点坐标为( 0 ,0 ),∴抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为(﹣ 1,0) ,即不论 m、n 如何变化,二次函数的图象总通过点(﹣ 1,0 )和( 0,0).
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