AC 得到 OE 为中位线;(2) 连结 CD ,则 CD = BD ,可转化为证明 AP DP =2 2 AC CD .先证△ PCD ∽△ PAC ,得比例式 AC CD = PC PD , 两边平方得 2 2 AC CD =2 2 PC PD ,再结合切割线定理可证得 2 2 AC CD = PA PD PD ? 2 = PA PD ;(3 )利用( 2)可求 DP 、 AP ,再利用勾股定理、切割线定理可求出 PC 的长. (1)【略证】∵ AB 为直径, ∴∠ ACB = 90°, 即 AC ⊥ BC .∵ D为的中点,由垂径定理,得 OD ⊥ BC .∴ OD ∥ AC .又∵点 O为 AB 的中点,∴点 E为 BC 的中点.∴ OE =2 1 AC . *( 2)【略证】连结 CD .∵∠ PCD =∠ CAP ,∠ P是公共角,∴△ PCD ∽△ PAC .∴ PC PD = AC CD . ∴2 2 PC PD =2 2 AC CD .又 PC 是⊙O的切线, ∴ PC 2= PD · DA .∴ PA PD PD ? 2 =2 2 AC CD , ∴ PA PD =2 2 AC CD .∵ BD = CD ,∴ PA PD =2 2 AC BD . ( 3)【略解】在 Rt△ ABC 中, AC = 6, AB = 10,∴ BC =22610?= 8.∴ BE = 4. ∵ OE = AC 2 1 = 3,∴ ED = 2.则在 Rt△ BED 中, BD =22 BE ED ?= 25 , 在 Rt△ ADB 中, AD =22 BD AB ?= 45 .∵ AC PD =2 2 AC BD ,∴54? PD PD =36 20 . 解此方程,得 PD = 55 , AP = 95 .又 PC 2= DP · AP ,∴ PC =5955?= 15.
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