x 1,x 2 是一元二次方程 x 2+ px+q=0 的两根, 所以,x 1,x 2 也是一元二次方程 x 2-(x 1+x? 2)x+x 1·x 2=0 的两根, 因此有以两个数 x 1,x 2 为根的一元二次方程(二次项系数为 1 )是 x 2-(x 1+x? 2)x+x 1·x 2=0. 二、典型例题: 例2 已知方程 2 5 6 0 x kx ? ??的一个根是 2 ,求它的另一个根及 k 的值. 分析:由于已知了方程的一个根,可以直接将这一根代入,求出 k 的值,再由方程解出另一个根.但由于我们学习了韦达定理, 又可以利用韦达定理来解题, 即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项, 于是可以利用两根之积求出方程的另一个根, 再由两根之和求出 k 的值. 解法一: ∵2 是方程的一个根, ∴5×2 2+k×2-6=0, ∴k =- 7. 所以,方程就为 5x 2-7x-6=0 ,解得 x 1=2,x 2 =- 35 . 所以,方程的另一个根为- 35 ,k 的值为- 7. 解法二:设方程的另一个根为 x 1 ,则 2x 1 =- 65 ,∴x 1 =- 35 . 由(- 35 )+ 2 =- 5 k ,得 k =- 7. 所以,方程的另一个根为- 35 ,k 的值为- 7. 例3 已知关于 x 的方程 x 2+ 2(m- 2)x+m 2+4=0 有两个实数根,并且这两个实数根的平方和比两个根的积大 21 ,求 m 的值. 分析: 本题可以利用韦达定理,由实数根的平方和比两个根的积大 21 得到关于 m 的方程,从而解得 m 的值.但在解题中需要特别注意的是,由于所给的方程有两个实数根,因此,其根的判别式应大于零. 解:设 x 1,x 2 是方程的两根,由韦达定理,得 x 1+x 2 =- 2(m- 2),x 1·x 2=m 2+4.
全文预览
