勒贝控制收敛定理及其他格

负函数 g 使得对于一切 1?n 都有 I.. ),(|)(|于 eaxgxf?则极限函数)(ILf?.8 .设 f 在半无穷区间),[ ???aI 上有定义,假定对每个 ab?,f 在紧区间[a,b] 上是勒贝格可积的,而且存在一个正常数 M ,使得对于每个 ab?都有?? baMf,|| 则)(ILf?,极限???? babf lim 存在,且???????? bab aff lim 阶梯函数的极限函数类比勒贝格可积函数类要大,该类中的函数称为可测函数由勒贝格积分定义的函数的连续性设X和Y 是不是 R 的两个子区间, f 是定义在 YX?上的函数,它满足以下条件 a)对Y 中的每个 y ,在 X 上由下式),()(yxfxf y?定义的函数)(xf y 在X 上是可测的. b)在)(XL 内存在一个非负函数 g, 使得对任意的 Yy?都有.X.. ),(|),(|于 eaxgyxf? c)对Y 中固定的 y有.X.. ),,(),( lim 于 eayxftxf yt??于是勒贝格积分? Xdxyxf),( 对Y 中的每个 y 都存在,而且由等式?? XdxyxfyF),()( 定义的函数 F在Y 上连续. 积分号下的微分法设X和Y 是不是 R 的两个子区间, f 是定义在 YX?上的函数,它满足以下条件 a)对Y 中的每个 y ,由等式),()(yxfxf y?定义的函数)(xf y 在X 上是可测的,且对于 Y 内的某个点 a有).(XLf a?. b) 对于YX?的每个内点(x,y), 偏导数.),( 2存在 yxfD c)在)(XL 内存在一个非负函数 G, 使得对于 YX?的全部内点都有),.(|),(| 2xGyxD?那么勒贝格积分? Xdxyxf),( 对Y 中的每个 y 都存在,其导数为?? XdxyxfDyF),()(' 2 即求导和求积分可交换次序.