敛的快慢。下面证明该方法可以刻画矩阵与类单位阵的相似程度。证明: a. 对于 2 阶矩阵 P2=[a11 a12] [a21 a22] 得 det(P)=a11*det(c(11))+ a12*det(c(12)) =a11*a22 - a12*a21 其中 c(ij)=(-1) ij *m(ij) , m(ij) 是 aij 的余子式。即两个对角线上的积作差。对于与类单位阵形似的矩阵可能出现 a11*a22->1 、 a12*a21->0 或者 a11*a22->0 、 a12*a21->1 两种情况,所以|det(P2)|->1 。所以,与类单位阵形似二阶矩阵可以表示为较大两项积与其他较小项积的运算, 对于二阶矩阵该运算为减法。由于, 与类单位阵形似二阶矩阵其他项很小,所以|det(P2)| 约为较大两项之积。 b. 假设 n 阶与类单位阵形似矩阵 Pn, |det(Pn)| 约为某些值比较大的项的乘积。则对于 n+1 阶与类单位阵形似矩阵 P(n+1), |det(P(n+1))|=a11*det(c(11))+ a12*det(c(12))+ ……+a1n*det(c(1n)) 其中 c(ij) 为n阶n 阶与类单位阵形似矩阵 Pn,即 det(c(ij)) 约等于某些值比较大的项的乘积。在矩阵 P(n+1) 中, 选取其中 a1j 最大者 a1m , 其余第一行项接近 0, 得|det(P(n+1))|->a1m*det(c(1m)) ,即|det(P(n+1))| 也近似于某些值比较大的项的乘积。当这些值越接近于 1时, |det(P(n+1))| 越接近于 1, 也就是 P(n+1) 越与类单位阵相似。当这些值都等于1时, |det(P(n+1))|=1 ,此时 P(n+1) 就是类单位阵。所以,由a、b 可知, 矩阵的行列式可以刻画该矩阵与单位阵的相似程度。
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