A 环绕闭合路径 l 的线积分为该矢量的环量( circulation ), 记作(如图 1-14 )?????? ll dlAd? cos lA ( 1-3-18 ) 可见, 矢量的环量也是一数量, 如果矢量的环量不等于零, 则在 l 内必然有产生这种场的旋涡源; 如果矢量的环量等于零, 则我们说在 l 内没有旋涡源。矢量的环量和矢量穿过闭合面的通量一样都是描绘矢量场A 性质的重要物理量, 它同样是一个积分量。为了知道场中每个点上旋涡源的性质,我们引入矢量场的旋度的概念。 2 旋度(1) 旋度的定义设P 为矢量场中的任一点,作一个包含 P 点的微小面元S?,其周界为 l ,它的正向与面元 S?的法向矢量 n 成右手螺旋关系如图 1-15 ,则矢量场 A 沿l 之正向的环量与面积S?之比,当曲面 S?在P 点处保持以 n 为法矢的条件下,以任意方式缩向 P 点,若其极限 S d lPS?????lA lim ( 1-3-19 ) 存在,则称它为矢量场在点 P 处沿 n 方向的环量面密度(亦即环量对面积的变化率)。不难看出,环量面密度与 l 所围成的面元 S?的方向有关。例如,在流体情形中,某点附近的流体沿着一个面上呈漩涡状流动时, 如果 l 围成的面元与漩涡面的方向重合, 则环量面密度最大;如果所取面元与漩涡面之间有一夹角,得到的环量面密度总是小于最大值;若面元与漩涡面相垂直,则环量面密度等于零。可见,必存在某一固定矢量 R ,这个固定矢量R 在任意面元方向上的投影就给出该方向上的环量面密度, R 的方向为环量面密度最大的方向,其模即为最大环量面密度的数值,我们称固定矢量 R 为矢量 A 的旋度( curl 或 rotation ) ,记作 RA? rot ( 1-3-20 ) 图 1-14 矢量场的环量图 1-15 闭合曲线方向与面元的方向示意图图 1-16 旋度及其投影
全文预览
