天津市南开中学2014-2015学年高二下学期期中数学试卷 Word版含解析.doc

导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 证明题;导数的综合应用. 分析: 构造函数 f(x) =e x﹣( 1+x ), 从而求导 f?(x) =e x﹣1, 从而判断函数的单调性即最值, 即可证明. 解答: 证明:令 f(x) =e x ﹣( 1+x ), 则f?(x) =e x﹣1, 故f(x )在(﹣∞,0 )上是减函数,在( 0,+∞)上是增函数; 故f(x)≥ f(0) =1 ﹣( 1+0 ) =0 ; 故e x ﹣( 1+x )≥0, 即对于任意的 x∈R,e x≥ 1+x . 点评: 本题考查了导数的综合应用及函数的性质与不等式的关系应用,属于中档题. 18.( 2015 春?天津校级期中)n 为正整数, 求证:1?( n+1 ) +2 ? n+3 ?(n﹣1)+…+( n+1 )? 1= ( n+1 )( n+2 )( n=3 ) 考点: 数学归纳法. 专题: 证明题;点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 根据数学归纳法证明的步骤,首先验证当 n=1 时成立,进而假设 n=k 时等式成立,证明 n=k+1 时,等式也成立;最后作答即可. 解答: 证明:设 f(n) =1 ?( n+1 ) +2 ? n+3 ?(n﹣1)+…+( n+1 )? 1. (1 )当 n=1 时,左边=4 ,右边=4 ,等式成立; (2) 设当 n=k 时等式成立,即1?( k+1 ) +2 ? k+3 ?(k﹣1)+…+( k+2 )? 2+ ( k+1 )? 1=( k+1 ) ( k+2 )( k+3 ), 则当 n=k+1 时, f( k+1 ) =f(k) +1+2+3+ …+k+ ( k+1 )+( k+2 ) =( k+1 )( k+2 )( k+3 )+( k+2 )( k+2+1 ) =( k+2 )( k+3 )( k+4 ) ,即 n=k+1 时等式也成立;