程得这是一个关于的一阶方程,若以求得它的通解为变量可分离的一阶方程,积分得即原方程得通解.例3?求满足的特解.解?令则.则方程变为即分离变量得,等式两端同时积分化简得,即,把时代入上式得,则方程化为,分离变量得积分得,将代入解得,故原方程的特解为4)型的微分方程特点等式右端不含,仅是的函数.解法方程两边同时乘以,就得到则其中则即再利用分离变量可得结果.例4 求微分方程的通解.解方程两边同乘以,得即则(,为任意常数)则分离变量再积分得整理得其中为任意常数.5)形如(3)类型的方程.其中为任意的常数.将方程变形为(4)令(5)将(5)代入(4)有即(6)要将(6)化为一阶线性微分方程,再令(7)则(6)化为(8)令(9)则(8)可化为(10)由此可知对于此类方程,我们只要适当的选择满足条件(5)和(7),此类方程即可通过换元进行降阶,转化为一阶线性方程来求解.由(5),令则代入(7)得,(11)由(11)知,如果已知,则便可以求出(这里有两个值,可任意选一个),这样便确定了,将代入(9)、(10),这是两个一阶微分方程,利用一阶方程的求法可以得出解.2.2几种特殊方程的降阶问题1)型方程方程不显含未知函数,或更一般地,设方程不含,即方程呈形状.(12)若令,则方程可降阶为关于的阶方程,(13)如果能够求的方程(13)的通解,即,再经过次积分得到,其中为任意常数,可以验证,这就是方程(12)的通解.特别地,若二阶方程不含显(相当于的情形),则用变换便把方程化为一阶方程.例5求微分方程的通解.解令,则原方程降阶为,这是一阶齐次线性方程,其通解为,即,于是,其中为任意常数,这就是原方程的解.例6求解初值问题解令,则原方程化为,此即为变量可分离的方程,由分离变量法解得,即,由初始条件得.所以,两端同时积分一次,有,再由初始条件,得,故原初值问题的解为2)型方程不显含自变量的方程(14)
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