量子力学课件7一维线性谐振子

往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似,所以简谐振动的研究,无论在理论上还是在应用上都是很重要的。例如双原子分子,两原子间的势V是二者相对距离x的函数,如图所示。在x=a处,V有一极小值V0。在x=a附近势可以展开成泰勒级数:(2)为什么研究线性谐振子axV(x)0V0可见,一些复杂的势场下粒子的运动往往可以用线性谐振动来近似描述。取新坐标原点为(a,V0),则势可表示为标准谐振子势的形式:axV(x)0V0经典力学中,一维谐振子的哈密顿上式用相应算符代入,得是一维谐振子的哈密顿算符,是能量算符。9.2求解定态薛定谔方程线性谐振子的Hamilton量:则Schrodinger方程可写为取自然单位,则Schrodinger方程可写为取能量单位、长度单位为简单计,引入无量纲变量ξ代替x,此式是一变系数二阶常微分方程设定边界条件、束缚态条件、意思是谐振子出现在无穷处的概率为零。其中Hn(ξ)必须满足波函数的单值、有限、连续的标准条件。即:①当ξ有限时,Hn(ξ)有限;②当ξ→∞时,Hn(ξ)的行为要保证φn(ξ)→0。C9.3谐振子的本征值和本征函数上式中,n=0,1,2,3,……。其中,归一化常数Hn(ξ)是n项厄密多项式,前4个项厄密多项式分别是波函数然而,量子情况与此不同对于基态,其几率密度是:ω0(ξ)=|ψ0(ξ)|2=?=N02exp[-ξ2]分析上式可知:一方面表明在ξ=0处找到粒子的几率最大;另一方面,在|ξ|≧1处,即在阱外找到粒子的几率不为零,与经典情况完全不同。以基态为例,在经典情形下,粒子将被限制在|αx|<1范围中运动。这是因为振子在这一点(|αx|=1)处,其势能V(x)=(1/2)mω2x2={1/2}ħω=E0,即势能等于总能量,动能为零,粒子被限制在阱内。n=2n=1n=0-3-2-10123E0E1E2