群与子群-课件·PPT

G ,使得关于x的方程ax=b,xa=b都有唯一解.Р证明: 1)先证解存在性? 设a的逆元a-1,令? x = a-1  b (构造一个解)? ax= a( a-1  b )? =( a  a-1 )  b? = e  b = b? 2)再证解唯一性? 若另有解x1满足a x1 = b ,则? a-1 (a x1)= a-1  b ? x1 = a-1  b Р定理5-4.3 设<G,>为群,那麽,对任意a,b,cS? ab = ac 蕴涵 b = c ? ba = ca 蕴涵 b = c ? G的所有元素都是可约的.因此,群中消去律成立。Р证明: 设ab=ac,且a的逆元a-1,则有? a-1( a  b )= a-1( a  c )? e  b = e  c ? b = c? 同理可证第二式。Р定义5-4.3 设S是一个非空集合,从集合S到S的一个双射称为S的一个置换。Р譬如,对于集合S={a,b,c,d},将a映射到b,b映射到d,c映射到a,d映射到c是一个从S到S上的一个一对一映射,这个置换可以表示为? a b c d? b d a c?即上一行中按任何次序写出集合中的全部元素,而在下一行中写每个对应元素的象。Р证明: 先证G中每一个元素只出现一次? 用反证法:设a对应行有两个元素b1、b2对应的都是c, 即ab1=ab2=c,且b1≠b2 ? 由可约性得b1=b2? 与假设矛盾。? 再证G中每一个元素必出现一次? 对于元素aG的那一行,设b是G中的任意一个元素,由于b=a(a-1b),所以b必定出现在对应于a的那一行。? 再由运算表中任何两行或两列都是不相同的。得出要证的结论。对列的证明过程类似。Р定理5-4.4 设<G,>为群,那麽,运算表中的每一行或每一列都是群G的元素的置换。