第五节曲线的凹凸和函数作图ABCD弧ACB与弧ADB的凹向不同。ab11.凹凸性的定义2若在某一区间内,函数图像总在曲线上任一点切线的上方,则称曲线在这区间内是凹的;直观观察在有些教材中,凹的(曲线)又叫“上凹”,凸的又叫“下凹”。下方凸的32.判定定理:证明对于(1),设且记并记则上面两式相减,得在上用拉格朗日中值定理,得对43、判定函数曲线凹凸的步骤:(1)确定函数y=f(x)的定义域;(2)求f”(x),找出使f”(x)=0和f”(x)不存在的点xi;(3)用xi把定义域划分成为小区间,在每个小区间上判定曲线的凹凸。例1.解对在用拉格朗日中值定理,得由假设因此即5例2.解拐点:曲线由凸变凹(或由凹变凸)的分界点。(1)拐点是曲线上的点,应由两个坐标表示(x0,f(x0)).(2)前面讲过的极值点,是取得极值时自变量的值,记为x=xi两者不同。(3)作业中常见记法的错误:注意:6例3.解7例4.但当时,总有因此,(0,0)不是这曲线的拐点。即解8例5求曲线的拐点。解当时,当时,都不存在。所以,在不连续且不具有零点。但把分成两个部分区间:曲线在上是凹的。曲线在上是凸的。则点是曲线的拐点。下面的点可能对应着曲线的拐点:(1)(2)9例6设在的某邻域内具有三阶连续的导数,如果试问是否为极值点?为什么?又是否为拐点?为什么?解由于在的某邻域内具有三阶连续的导数,则不妨设由保号性定理,即在此区域内,单调增加。而因此因此,是拐点。因此不是极值点。10
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