问题? 假设f在[a,b]上连续,{xi} [a,b]互不相同。欲求简单函数p(x)使? (1.1)?记为?注:② y = p(x)和y = f(x)的图形至少有n个交点。?③插值函数有各种类型,如代数多项式,三角函数,有理函数等。?④当p(x)为多项式时,称为(代数)插值多项式。Р给定插值节点 x0,x1, y0=f(x0),y1=f(x1).?求线性插值多项式L1 (x)=a0+ a1x,使满足:? L1(x0)=y0 , L1(x1)=y1.Р2.2 Lagrange插值Р一、线性插值与抛物插值Р1. 线性插值:n=1情形Рy= L1 (x)的几何意义就是过点(x0, y0),(x1, y1)的直线。РL1 (x)的表达式:Р点斜式:Р两点式:Р由两点式可以看出, L1 (x)是由两个线性函数Р的线性组合得到,其系数分别为y0, y1。即Р显然, l0 (x)及l1 (x)也是线性插值多项式,在节点x0,x1上满足条件:? l0(x0)=1 , l0(x1)=0.? l1(x0)=0 , l1(x1)=1.Р称l0 (x)及l1 (x)为线性插值基函数。Р(j,k=0,1)Р即Рl0(x0)=1 , l0(x1)=0 , l0(x2)=0.?l1(x0)=0 , l1(x1)=1 , l1(x2)=0.?l2(x0)=0 , l2(x1)=0 , l2(x2)=1.Р2. 抛物插值:n=2情形Р假定插值节点为x0, x1, x2 ,求二次插值多项式 L2 (x),使 L2(xj)=yj (j=0,1,2)Рy= L2 (x)的几何意义就是过(x0, y0),(x1, y1) ,(x2, y2)三点的抛物线。Р采用基函数方法,设? L2 (x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2Р此时基函数l0(x), l1(x), l2(x)是二次函数,且在节点上满足:
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