余的a的因子,叫做真因子.Р定义4.1.5 整环I的一个元p叫做一个素元,假如p既不? 是零元,也不是单位,并且p只有平凡因子.Р相伴元Р定义4.1.3 元b叫做元a相伴元,假如b=εa ,其中ε是I的一个单位.Р《近世代数》精品课程Р定理4.1.1 两个单位和的乘积是一个单位,? 单位的逆也是一个单位.Р定理4.1.2Р证明(1)Р(2)Р(3)Р《近世代数》精品课程Р定理4.1.3 整环中一个不等于零的元a有真因子的充?分而且必要条件是:a=bc,b和c都不是单位元.Р推论假定a≠0,并且a有真因子b,a=bc,那么c也是a? 的真因子.Р证明Р,矛盾.Р故a有真因子.Р《近世代数》精品课程Р唯一分解Р定义4.1.6 我们说,一个整环I的一个元a在I里有唯一分解,假如以下条件能被满足:? (i) ( 是I的素元);Р (ii)若同时( 是I的素元);? 那么,且可把的次序掉换? ( 是I的单位).Р《近世代数》精品课程Р例是整环, 是4在此环中两种不同的分解.Р证明(i)Р(ii)Р(iii)Р《近世代数》精品课程Р§4.2 唯一分解环Р唯一分解环Р定义4.2.1 一个整环I叫做一个唯一分解环(UFD),如果I ? 的每一个既不等于零又不是单位的元都有唯一分解.Р例是一个UFD, 不是一个UFD.Р《近世代数》精品课程Р定理4.2.1 假定I是一个UFD, 是I中的素元,则对任意? 有: .Р推论在一个UFD中, 若素元,则必整除某一个.Р证明当Р中有一个是零或是单位时,定理显真.Р皆非零元,也非单位.Р于是Р.又令Р于是Р由分解唯一性知Р如Р;如Р《近世代数》精品课程Р定理4.2.2 若整环I满足: ? (1) ? (2) 若? 那么I一定是唯一分解环.Р定义4.2.2Р定义4.2.3Р定理4.2.3 假定I是唯一分解环,Р(1)在I中,Р(2)Р《近世代数》精品课程
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