x0的左邻域f(x)<0,右邻域f(x)>0,则f(x0)是极小值{′′在x0的左邻域f(x)>0,右邻域f(x)<0,则f(x0)是极大值′′′第二充分条件:设f(x)在x=x0处二阶可导,且f(x)=0,f(x0)≠0′′若f(x0)<0,则f(x)在x0取得极大值{′′若f(x0)>0,则f(x)在x0取得极小值(m)第三充分条件:设f(x)在x=x0处n阶可导,且f(x0)=0(m=1,2,…,(n)f(x0)<0时,f(x)在x0取得极大值n-1),f(n)(x)≠0(n≥2)则n为偶数时{0(n)f(x0)>0时,f(x)在x0取得极小值若在I上f′′(x)>0,则f(x)在I上是凹的凹凸性判定:设f(x)在I上二阶可导,{若在I上f′′(x)<0,则f(x)在I上是凸的补充定义:设f(x)在(a,b)内连续,如果对(a,b)内任意两点𝑥1,𝑥2,𝜆∈(0,1),有f[λx1+(1-λ)x2]≥λf(x1)+(1-λ)f(x2),则称f(x)在(a,b)内是凸的;…≤…则…是凹的.拐点判定:(3)第一充分条件:设f(x)在点x=x0处连续,在点x=x0的某去心邻域(x0,δ)内二阶′′导数存在,且在该点的左右邻域内f(x)变号,则点(x0,f(x0))为曲线上的拐点.′′′′′第二充分条件:设f(x)在x=x0处三阶可导,且𝑓(𝑥0)=0,𝑓(𝑥0)≠0,则(𝑥0,𝑓(𝑥0))为拐点.(𝑚)第三充分条件:设f(x)在x=x0处n阶可导,且𝑓(𝑥0)=0(m=2,…,n-(𝑛)1),𝑓(𝑥0)≠0(n≥2),则当n为奇数时,(𝑥0,𝑓(𝑥0))为拐点.微分几何应用|𝒚′′|曲率:y=y(x)在(x,y(x))处的曲率公式为𝒌=𝟑𝟐(𝟏+𝒚′)𝟐𝟏曲率半径:R=𝒌2𝑦′(1+𝑦′)′22221+𝑦曲率圆:(𝑋−𝛼)+(𝑌−𝛽)=𝑅,𝛼=𝑥−2,𝛽=𝑦+2𝑦′′𝑦′′
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