的结论矛盾。2.求下列数集的最大数、最小数,或证明它们不存在:Ax={|x≥0};⎧2π⎫B=⎨sinx|0<x<⎬;⎩3⎭⎧n+⎫C=⎨m,n∈N并且n<m⎬。⎩m⎭解minA=0;因为∀x∈A,有x+1∈A,x+1>x,所以maxA不存在。π⎛π⎤maxB=sin=1;因为∀x∈B,∃α∈⎜0,,使得x=sinα,于是有2⎝2⎦⎥ααsin∈B,sin<x,所以minB不存在。229nnn+1maxC与minC都不存在,因为∀∈C,有∈C,∈C,mm+1m+1nnn+1<<,所以maxC与minC都不存在。m+1mm+13.A,B是两个有界集,证明:(1)A∪B是有界集;(2)Sx=+{|yx∈A,y∈B}也是有界集。证(1)设∀x∈A,有x≤M1,∀x∈B,有x≤M2,则∀x∈A∪B,有x≤max{}M1,M2。(2)设∀x∈A,有x≤M1,∀x∈B,有x≤M2,则∀x∈S,有x≤M1+M2。4.设数集S有上界,则数集Tx={|−x∈S}有下界,且supS=−infT。证设数集S的上确界为supS,则对任意x∈Tx={|−∈xS},有−x≤supS,即x≥−supS;同时对任意ε>0,存在y∈S,使得y>supS−ε,于是−y∈T,且−y<−supS+ε。所以−supS为集合T的下确界,即infT=−supS。5.证明有界数集的上、下确界唯一。B−A证设supS既等于A,又等于B,且A<B。取ε=>0,因为B为2集合S的上确界,所以存在x∈S,使得x>B−ε>A,这与A为集合S的上确界矛盾,所以A=B,即有界数集的上确界唯一。同理可证有界数集的下确界唯一。6.对任何非空数集S,必有supS≥infS。当supS=infS时,数集S有什么特点?解对于任意的x∈S,有infS≤x≤supS,所以supS≥infS。当supS=infS时,数集S是由一个实数构成的集合。10
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