存在。 C max C min 3. A B , 是两个有界集,证明: (1) 是有界集; A B ∪(2) 也是有界集。 Sx y x A y B =+ ∈∈{| , } 证( 1 )设 A x ∈?,有 1 M x ≤, B x ∈?,有 2 M x ≤,则 B A x ∪∈?,有{} 2 1 , max M M x ≤。( 2 ) 设, 有 A x ∈? 1 M x ≤, B x ∈?, 有 2 M x ≤, 则 S x ∈?, 有 2 1 M M x + ≤。 4. 设数集 S 有上界,则数集 Tx x S = ?∈{| } 有下界,且 sup S = T inf ?。证设数集 S 的上确界为,则对任意 S sup ∈ x Tx x S = ?∈{| } ,有, 即; 同时对任意 S x sup ≤? S x sup ?≥ 0 > ε, 存在 S y ∈, 使得ε?> S y sup , 于是,且 T y ∈?ε+ ?< ? S y sup 。所以 S sup ?为集合 T 的下确界,即。 S T sup inf ?= 5. 证明有界数集的上、下确界唯一。证设既等于 S sup A , 又等于 B ,且 B A < 。取 0 2 > ?= A B ε,因为 B 为集合的上确界, 所以存在 S S x ∈, 使得 A B x > ?> ε, 这与 A 为集合的上确界矛盾,所以 S B A = ,即有界数集的上确界唯一。同理可证有界数集的下确界唯一。 6. 对任何非空数集 S ,必有 sup S ≥ inf S 。当 sup S = inf S 时, 数集 S 有什么特点? 解对于任意的,有 S x ∈ S x S sup inf ≤≤,所以。当 S S inf sup ≥ sup S = inf S 时,数集 S 是由一个实数构成的集合。 10
全文预览
