a11 1nР λEA−= 称为 A 的特征多项式,这是数域 P 上的一个 n 次多项式,Р −−aan1 λ nnР则 n nn−1 。Р fA()= A−( a11 + .... + ann ) A +..... +−( 1)AE = 0 Р3、特征值与特征向量的性质Р ( )设是级矩阵的全体特征值,则Р 1 λλ12,,,λn n Aa= ()ij n× n λλ1 ++ n Р , ;Р=aa11 ++ nn λλ1 n = A Р (2)属于不同特征值的特征向量是线性无关的; Р (3)如果λλ,,, λ是线性变换 A 的不同的特征值,而 aa,, 是属于特征值λ的Р 12 n i1 iri iР线性无关的特征向量, ik=1, 2, , ,那么向量组 aaaa,, ,, ,, 也线性无关。Р 11 1r1 k1 krkР4、线性变换在某组基下为对角矩阵的条件Р (1)设 A 是 n 维线性空间V 的一个线性变换,A 的矩阵可以在某一组基下为对角矩阵Р的充要条件是, A 有 n 个线性无关的特征值。Р (2)如果在 n 维线性空间V 中的,线性变换 A 的特征多项式在数域 P 中有 n 个不同的Р根,即 A 有 n 个不同的特征值,那么 A 在某组基下的矩阵是对角矩阵。Р (3)在负数域上的线性空间中,如果线性变换 A 的特征多项式没有重跟,那么 A 在某Р组基下的矩阵是对角矩阵。Р三、矩阵的相似Р1、矩阵相似的定义Р 设 A , B 为数域 P 上两个 n 级矩阵,如果可以找到数域 P 上的 n 级可逆矩阵 X ,使得Р −Р B= X1 AX ,就说 A 相似于 B ,记为 AB~ . Р2、相似矩阵的性质Р (1)相似矩阵有相同的特征多项式; Р (2)相似矩阵有相同的最小多项式。Р四、线性变换的值域与核Р - 10 -
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