.k ,k 成等差数列. (13 分) ……………………………………………………………………… 22. 解:(1 )当a=2 时,f (x )= 2 x +xlnx ,f ′(x )=- 2 x +lnx+1 ,f (1 )=2 ,f ′(1 )=-1 所以曲线y =f (x )在x=1 处的切线方程为y =-x+3. (3 分) ………………………………(2 )?x ,x∈[0 ,2 ]使得g (x )-g (x )≥M 成立,等价于[g (x )-g (x )]≥M 考虑g (x )=x-x-3 ,g ′(x )=3x-2x=3xx- ?è ? ?? ÷ 23 x 0 0 , ?è ? ?? ÷ 23 23 23 , ?è ? ?? ÷ 2 2 g ′(x )0 - 0 + g (x )-3 递减极(最)小值- 85 27 递增 1 由上表可知,g (x )=g ?è ? ?? ÷ 23 =- 85 27 ,g (x )=g (2 )=1 [g (x )-g (x )]=g (x )-g (x )= 112 27 所以满足条件的最大整数M=4. (8 分) ……………………………………………………………(3 )对任意的s ,t∈[1 ,2 ],都有f (s )≥g (t ),等价于:在区间[1 ,2 ]上, 函数f (x )的最小值不小于g (x )的最大值. 有(2 )知,在区间[1 ,2 ]上,g (x )的最大值为g (2 )=1 , f (x )= a x +xlnx≥1 ,等价于a≥x-xlnx 恒成立. 记h (x )=x-xlnx ,h′(x )=1-2xlnx-x= (1-x )-2xlnx≤0 在[1 ,2 ]上恒成立, 即函数h (x )=x-xlnx 在区间[1 ,2 ]上递减,所以h (x )=h (1 )=1 ,所以a≥1. (14 分) ……
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