【领航密卷】湖南省2014届高三第六次联考数学（理） PDF版含详解

1+2 m-1 ,∴2 k+1=2 n+2 m,∴2 k+1-m=2 n-m+1. 等式左边为偶数,右边为奇数,不可能成立, ∴假设不成立,数列{a 2 n}中不存在成等差数列的三项. (8 分) ………………………………(3 )当k 为奇数时,f ′(x )=2x+ 2 x ,∴b n= 12 f ′(n )-n= 1 n ,S n=1+ 12 + 13 + …+ 1 n . 要证(1+b n) bn>e ,即证1+ 1 ?è ? ?? ÷ n n+1>e ,两边取对数,即证ln1+ 1 ?è ? ?? ÷ n > 1 n+1 . 设1+ 1 n =t ,则n= 1 t-1 (t>1 ),∴lnt>1- 1 t (t>1 ),构造函数g (t )=lnt+ 1 t -1 (t>1 ), ∵t>1 ,∴g ′(t )= 1 t - 1 t 2>0 ,∴g (t )在(1 ,+∞)上单调递增,g (t )>g (1 )=0 , 即lnt>1- 1 t ,∴ln1+ 1 ?è ? ?? ÷ n > 1 n+1 ,即(1+b n) bn>e , S 2012-1=1+ 12 + 13 + …+ 1 ?è ? ?? ÷ 2012 -1= 12 + 13 + …+ 1 2012 ∵ln1+ 1 ?è ? ?? ÷ n > 1 n+1 ,∴ 12 + 13 + …+ 1 2012 <ln2+ln1+ ?è ? ?? ÷ 12 +ln1+ ?è ? ?? ÷ 13 +ln1+ 1 ?è ? ?? ÷ 2011 =ln2+ln 32 +ln 43 + …+ln 2012 2011 =ln2× 32 × 43 × …× 2012 ?è ? ?? ÷ 2011 =ln2012 ∴ 12 + 13 + …+ 1 2012 <ln2012. (13 分) ………………………………………………………