【领航密卷】湖南省2014届高三第六次联考数学（文） PDF版含详解

当m≤0 时,f ′(x )<0 ,f (x )在(0 ,+∞)上是减函数; ∴当m>0 时,由f ′(x )>0 ,得x> 1 m ;f ′(x )<0 ,得x< 1 m ; ∴当m>0 时,f (x )在0 , 1 ?è ? ?? ÷ m 上是减函数,在 1 m , ?è ? ?? ÷ +∞是增函数. 综上可知,当m≤0 时,f (x )在(0 ,+∞)上是减函数, ∴当m>0 时,f (x )在0 , 1 ?è ? ?? ÷ m 上是减函数,在 1 m , ?è ? ?? ÷ +∞上是增函数. (5 分) ……………(2 )由题意,可得h′(x 1)=h′(x 2)(x 1,x 2>0 ,且x≠x 2) 即 m+ 1 m x 1 - 1 x 21 -1= m+ 1 m x 2 -1?x 1+x 2= m+ 1 ?è ? ?? ÷ m x 1x 2 ∵x 1≠x 2,由不等式性质可得x 1x 2< x 1+x 2 ?è ? ?? ÷ 2 2恒成立,又x 1,x 2,m>0 , ∴x 1+x 2< m+ 1 ?è ? ?? ÷ m x 1+x 2 ?è ? ?? ÷ 2 2?x 1+x 2> 4 m+ 1 m 对m∈[2 ,+∞)恒成立. 令g (m )=m+ 1 m (m≥2 ),则g ′(m )=1- 1 m 2= (m+1 )(m-1 ) m 2 >0 对m∈[2 ,+∞)恒成立. ∴g (m )在[2 ,+∞)上单调递增,∴g (m )≥g (2 )= 52 ,故 4 m+ 1 m ≤ 4 g (2 ) = 85 . 从而“x 1+x 2> 4 m+ 1 m 对m∈[2 ,+∞)恒成立”等价于“x 1+x 2> 4 g (2 ) = 85 ”. ∴x 1+x 2的取值范围为 85 , ?è ? ?? ÷ +∞. (13 分) …………………………………………………