际情况简化后的弹性力学问题,可以通过最小势能原理推导出其对应的平衡微分方程和面力边界条件。本节通过例题对此作了说明。推导中设应变能密度函数是应变分量的函数,因此最小势能原理是位移解法在变分原理中的应用。进入本节内容学习之前,应该首先学习有关泛函和变分的基础知识。8学习思路:1、总势能;2、总势能的变分;3、最小势能原理;4、最小势能原理推导弯曲问题的平衡微分方程和面力边界条件;5、最小势能原理推导扭转问题的平衡微分方程和面力边界条件。1、总势能下面根据虚功方程推导仅应用于弹性体的最小势能原理。设应变能密度函数是应变分量的函数,则应变能密度函数的一阶变分为上式推导中,应用了格林公式,将上式代入虚功方程,则上式表示外力虚功等于弹性体应变能的一阶变分。定义外力势能为注意到虚位移与真实的应力无关,因此在虚位移过程中外力保持不变,即变分与外力无关。而且积分和变分两种运算次序可以交换的,所以外力势能的一阶变分可以写作回代可得其中Et称为总势能,它是应变分量的泛函。由于应变分量通过几何方程可以用位移分量表示,所以总势能又是位移分量的泛函。公式表明,在所有几何可能的位移中,真实位移将使弹性体总势能的一阶变分为零,因此真实位移使总势能取驻值。2、总势能的变分以下证明:对于弹性体的稳定平衡状态,总势能将取最小值。将几何可能位移对应的应变代入总势能表达式,可以得到几何可能位移对应9的总势能将上式减去真实应变分量的总势能,可得将按泰勒级数展开,并略去二阶以上的小量,有回代可得由于总势能的一阶变分为零,因此3、最小势能原理总势能的二阶变分为由于由于应变能密度函数为正定函数,即只有在所有的应变分量全部为零时其才可能为零,否则总是大于零的,因此所以以上证明了在所有的可能位移场中,真实位移场的总势能取最小值。所以这一原理称为最小势能原理。数学描述即总势能的一阶变分为零,而且二阶变分是正定的(大于零)。10
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