接近实际,计算的结果精度更高,但计算量和误差也将随之增大。 3)确定状态变量和控制方法在有限元法中,可用微分方程(组)来表示包含了具体物理问题(或数学模型)的状态变量及边界条件,且为了适合有限元求解,通常用变分原理将微分方程化为等价的泛函形式(即,定义域是一个函数集,而值域是实数集或者实数集的一个子集)。 4)单元推导为单元构造一个合适的近似解,其中包括了位移模式的选择、分析单元的力学性质、计算等效节点力等。①选择位移模式在有限元法中,通常采用易于编程以实现计算自动化的位移法,这种方法是以节点位移作为未知量的,在离散化物体后,可以用节点位移来表示单元中如位移、应力、应变等物理量。这时就可以采用近似函数对单元中的位移分布进行描述。通常,有限元法就将单元内任意一点的位移表示成坐标变量的某种函数,即位移函数。用表示节点i位移,即: 式中,、、分别为节点i沿x、y、z方向的位移分量。用表示单元e的全部节点位移所构成的向量,即: 单元内任意一点的位移可表示成: 式中,Ni等为形函数,其在该节点处等于单位矩阵,其他节点处等于0。形函数使得以它定义的未知量在相邻单元间的具有连续性。②分析单元的力学性能根据单元的尺寸、形状、节点数目、位置、材料性质、含义等信息,并应用弹性力学中的几何方程和物理方程,找出节点载荷和节点位移之间的关系,以此推导出单元的刚度矩阵,这是有限元分析法的重要步骤之一。③计算等效节点载荷将实际上作用于单元边界的面力、体积力和集中力全都等效的转移到单元节点上,即用等效节点载荷代替所有作用在单元上的力。由广义胡克定律可得,矩阵[B]的表达式: 子矩阵[Bi]等如下的6×3矩阵: (i,j,m,p) 式中,V为四面体ijmp的体积,须注意的是,为了使四面体ijmp的体积V不致为负,必须按一定的顺序排列好单元节点的标号i、j、m、p,在笛卡尔坐标系中,若按照i→j→m的方向转动
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