球面正弦,余弦定理证明

O,连接 OA、OB、OC,则。图4-2 过点 A做的切线交直线 OB于D,过点 A做的切线,交直线 OC于E,连接 DE(如图 4-2 所示)。显然, ADAO,AEAO,在直角三角形 OAD 中, AO=1 , AD= , OD= 。在直角三角形 OAE 中, AE= , OE= 。注意。在三角形 ODE 中,利用平面三角形的余弦定理(定理 3.1 ), ……(1) 在三角形 ADE 中, ……(2) 因为( 1)式与( 2)式左端相等,所以右端也相等,经化简整理,即得。类似地可以得到另外两式。当三角形有一个内角为直角时,比如,则由球面三角余弦定理有。这恰好是平面几何中的勾股定理在球面几何中的对应物,但形式上有了很大差别。我们称之为球面勾股定理。定理 4.2 (球面三角正弦定理)在单位球面上,对于任给球面三角形,其三边和三角恒满足下述函数关系证明:因为上述三个比值都是正的,所以我们只要证明恒成立。由球面三角余弦定理,得同理可证,所以。一般地,易证在半径为 r的球面上,对于任给球面三角形,其三边和三角恒满足下述函数关系和当时,上述关系式会变成什么形式呢?如图,当时,球面三角形的三边可以看作直线段,所以,, 所以,,,, 代入上述关系式,当时对式子取极限,整理得: 这恰好是平面三角余弦定理和正弦定理。在实际使用时,考虑到所给条件的不同及计算的方便,我们常常需要不同形式的球面三角公式,这些公式本质上都能以球面正弦定理和余弦定理加以变换而得到。前面通过研究极对偶三角形的关系我们证明了球面几何中特有的全等条件 AAA, 在球面三角中有反映这一特有全等条件的三角公式。定理 4.3 ( 角的余弦公式) 在单位球面上, 对于任给球面三角形, 其三边和三角恒满足下述函数关系证明:由的极对偶三角形的余弦定理利用上节定理 3.1 将中相应的元素代入上式即有乘以- 1,化简得同理可证其他两式。