矩阵知识点

A n ?,称 A 为列满秩矩阵; , ( ) , A n R A n A ?若为阶方阵且则称为满秩矩阵。( ) n A R A n ?若阶方阵满秩,即 0A ? ?; 1A ??必存在; A?为非奇异阵; , ~ . n n A E A E ?必能化为单位阵即矩阵秩的求法定理 1 矩阵 A 经过有限次行(列) 初等变换后其秩不变。即若 A~B ,则 R(A )=R(B)。 10 矩阵 A m ×n ,经过有限次初等行变换可变为行阶梯形,则非零行的行数就是 A 的秩。 A ―――初等行变换―――阶梯形矩阵形 B 那么 R(A) =阶梯形矩阵形 B 的主元的个数。矩阵秩的性质总结(1) 0 ( ) min{ , } m n R A m n ?? ?(2) ( ) ( ) T R A R A ?????(3) ~ , A B R A R B ?若则( ) ( ) P Q R PAQ R A ?(4) 若、可逆,则(5) max{ ( ), ( )} ( , ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) 1. R A R B R A B R A R B B b R A R A R A ? ??? ??? b 特别当为非零列向量时,有(6) ( ) ( ) ( ) R A B R A R B ? ??(7) ( ) min{ ( ), ( )}. R AB R A R B ?(8) , ( ) ( ) . m n n l A B O R A R B n ? ?? ??若则(9) AB=O A B=O 设,若为列满秩矩阵,则(矩阵乘法的消去率) 。