.已知,当初,和是等价无穷小,则常数.9..10.微分方程通解为.三、计算题:本大题共10个小题,每小题8分,共80分.计算题要有计算过程.11.求极限.解:12.设参数方程确定了函数,求.解:因为(4分)所以(8分)13.求函数单调区间和极值.解:(3分)当初,;当初,;当初,.所以单调增区间为;单调减区间为;(6分)在处取得极大值,在处取得极小值(8分)14.求不定积分.解:(2分)(6分)(8分)15.设函数,其中含有二阶连续偏导数,二阶可导,求和.解:(4分)(8分)16.求空间曲线在点处切线方程和法平面方程.解:曲线方程,,,对应点为(2分)因为;;所以;;(4分)所求切线方程为(6分)法平面方程为即(8分)17.计算二重积分,其中积分区域.解:法一(4分)(8分)法二:18.计算对坐标曲线积分,其中是四个顶点分别为,,和正方形区域正向边界.解:设,,所围区域为,且:,由格林公式,得(4分)(6分)(8分)19.将函数展开为麦克劳林级数.解:(2分)(6分)(8分)20.求微分方程通解.解:原微分方程所对应齐次方程为,它特征方程为特征根为,.于是所给方程对应齐次方程通解为(3分)设非齐次方程特解为(5分)代入方程,得解得,所求特解为(6分)从而所求非齐次方程通解为(8分)四、证实题和应用题:本大题共2个小题,每小题10分,共20分。计算题要有计算过程,证实题要有证实过程。21.设函数在上连续函数,且,求证:①;②方程在内仅有一个实根.证实:①(5分)②因为在上是单调增加函数,所以方程在内最多只有一个根.又,(8分)依据零点定理,方程在内最少有一个根.综合以上可知,方程在内仅有一个实根.(10分)22.求抛物线及其在点和处切线所围成图形面积.解:因为(2分)所以曲线在处切线方程为即曲线在处切线方程为即(5分)因为两切线交点为(6分)所以,所求面积为(8分)(10分)
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