迦辽金法求梁中点B挠度:将挠度曲线代入y向平衡方程得:,将其代入迦辽金方法积分式中得:即习题10、试用李兹法求如图所示一端固定、一端自由压杆临界载荷,设该压杆长度图3-5为l,抗弯刚度为EI(常数),其挠度曲线为。解:挠度曲线为可以满足所要求边界条件,压杆失稳后弯曲应变能为外力功,其中d为失稳后由弯曲引起压杆顶端处向下竖直位移:势能为:。应用李兹法有,如果,此方程虽然是满足了,但是这表示该压杆保持直,根本没有失稳,所以。由此得:此结果正好是精确解,这是因为所设挠度曲线正好是失稳后真实挠度曲线。习题11、已知如图所示半无限弹性体界面上,承受垂直于界面集中力P作用,试用位移法求位移及应力分量。解:一、求位移函数用位移法求解时,须求出满足边界条件及满足以位移分量表示平衡方程组:图3-6M其中可以找到满足平衡方程组两组特解:(a)(b)上述两组特解线性组合可作为通解:(c)其中A1与A2由边界条件来确定,将其代入由位移表示应力得:(d)在边界上(z=0面),除外力作用点外,,前一条件自然满足,而后一条件由上式第四式可得:(e)另外假想过M点作一与边界面平行面,将半无限弹性体上部取出,根据被取部分Z向平衡条件得:(f)将(d)中代入(f)得,积分此式得:(g)由式(e)、(g)解得(h)将A1,A2代入(c)式得位移函数为:(I)二、求应力分量将A1、A2代回(d),可得应力分量计算公式:(j)三、讨论:1)以上所得应力与位移,当R增大时应力、应变值迅速减小,即带有局部性质。2)当时,各应力分量都趣于无限大,这是因为假设外力集中作用在一点缘故,实际上载荷不可能加在一个几何点上,而是分布在一个小面积上,因此实际应力不会是无限大而是相当大甚至已进入塑性阶段。根据圣维南原理,只要稍离集中力作用点,以上应力与位移公式仍可认为是正确。3)由(j)式可见,当z=0时,在弹性半空间边界面上有(k)
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