解:由.得级数收敛,当时,级数为收敛;当时,级数为发散;故收敛域为.17.设A是n阶矩阵,E是n阶单位矩阵,且则.解:18.设,记表示A的逆矩阵,表示A的伴随矩阵,则.19.设型随机变量且则=.解:由正态分布的对称性得.20、设型随机变量在区间上服从均匀分布,则方差.解:直接由均匀分布得.三、计算题:本大题共8小题,其中第21-27题每题7分,第28题11分,共60分。21.计算极限.解:原式====0.22.求由方程确定的隐函数的导数.解:两边取对数得,两边求导得,从而.23.计算定积分解:令,则当时,;当时,.所以原式====.24.求微分方程的通解.解:原方程可整理为这是一阶线性微分方程,其中.所以原方程的通解为.25.计算二重积分,其中是由直线所围成的区域.yy=2xxy=2xO1242解:区域D如图阴影部分所示.故.26.设矩阵,且满足,求矩阵X.解:由可得因,所以可逆,因此27.设行列式,求在处的导数D(0).解:.故.从而.28.已知离散型随机变量X的密度函数为且数学期望.求:(1)a的值;(2)X的分布列;(3)方差D(X).解:(1)由分布函数的性质知,随机变量X的可能取值为0、1、2,且因所以.(2)由(1)即得X的分布列为012,四、证明题与应用题:本大题共3小题,每小题10分,共30分。29.设,其中可微,.证明:因为,故.¼¼¼¼(9分)30.设D是由曲线及x轴所围成的的平面区域yOxy=lnx1e(e,1)求:(1)平面区域D的面积S;(2)D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积V.解:区域D如图阴影部分所示。曲线与x轴及的交点坐标分别为(1)平面区域D的面积.(2)D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积V31.证明不等式:当时,.证明:设,则,所以上单调递增,从而当当时,有,即,即;令,则,所以上单调递减,从而当当时,有,即,从而.综上所述:当时,有.
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