性。2.单步RK方法的收敛性和稳定性2.1单步RK方法的收敛性对于常微分初值问题y=fx,ya≤x≤bya=η?(1)的单步显式公式yi+1=yi+hφ(xi,yi,h)i=0,1,⋯,n-1y0=η?(2)局部截断误差可以表示为Ri+1=yxi+1-yxi+hφxi,yi,hi=0,1,⋯,n-13定理2[16]:设y(x)为(1)的解,yii=0n为(2)的解。如果:(1)存在常数c,使得Ri+1≤chp+1(i=0,1,2,⋯,n-1)(2)存在a>0,使得maxx,y∈Dσ0≤a≤h∂φ(x,y,h)∂y≤L其中Dσ=x,y|a≤x≤b,yx-σ≤y≤yx+σ记c0=cL[eLb-a-1],则当h≤mina,pσc0时,有E(h)≤c0hp证:由(3)得yxi+1=yxi+hφxi,y(xi),h+Ri+1(i=0,1,⋯,n-1)(4)将(4)与(2)相减yxi+1-yxi=yxi-yi+hφxi,yxi,h-φxi,yi,h+Ri+1i=0,1,⋯,n-1由yx0-y0=0知道,在i=0时,yxi-yi≤c0hp成立。现在假设0≤i≤k-1时也是成立的。在h≤pσc0时有:yxi-yi≤c0pσc0p=σ(i=0,1,⋯,n-1)进而φxi,yxi,h-φxi,yi,h=∂φxi,ηi,h∂yyxi-yi≤Lyxi-yi0≤i≤k-1其中ηi是yxi和yi之间的数。于是定理结合条件与(4)式,可以得到yxi+1-yi+1≤yxi-yi+hφxi,yxi,h-φxi,yi,h+Ri+1≤yxi-yi+Lhyxi-yi+chp+1=1+Lhyxi-yi+chp+10≤i≤k-1从而y(xk-yk)≤1+Lhkyx0-y0+1+Lhk-11+Lh-1chp+1因为yx0-y0=0及1+Lhk≤eLkh≤eL(b-a),得到yxk-yk≤cLeLb-a-1hp=c0hp
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