微分方程

得.两边积分,得,即lnM=-lt+lnC,也即M=Ce-lt.由初始条件,得M0=Ce0=C,所以铀含量M(t)随时间t变化的规律M=M0e-lt.例3设降落伞从跳伞塔下落后,所受空气阻力与速度成正比,并设降落伞离开跳伞塔时速度为零.求降落伞下落速度与时间的函数关系.解设降落伞下落速度为v(t).降落伞所受外力为F=mg-kv(k为比例系数).根据牛顿第二运动定律F=ma,得函数v(t)应满足的方程为,初始条件为v|t=0=0.方程分离变量,得,两边积分,得,,即(),将初始条件v|t=0=0代入通解得,于是降落伞下落速度与时间的函数关系为.例4求微分方程的通解.解方程可化为,分离变量得,两边积分得,即.于是原方程的通解为.例4有高为1m的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面面积为1cm2.开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面高度h随时间t变化的规律.解由水力学知道,水从孔口流出的流量Q可用下列公式计算:,其中0.62为流量系数,S为孔口横截面面积,g为重力加速度.现在孔口横截面面积S=1cm2,故,或.另一方面,设在微小时间间隔[t,t+dt]内,水面高度由h降至h+dh(dh<0),则又可得到dV=-pr2dh,其中r是时刻t的水面半径,右端置负号是由于dh<0而dV>0的缘故.又因,所以dV=-p(200h-h2)dh.通过比较得到,这就是未知函数h=h(t)应满足的微分方程.此外,开始时容器内的水是满的,所以未知函数h=h(t)还应满足下列初始条件:h|t=0=100.将方程分离变量后得.两端积分,得,即,其中C是任意常数.由初始条件得,.因此.上式表达了水从小孔流出的过程中容器内水面高度h与时间t之间的函数关系.§12.3齐次方程齐次方程:如果一阶微分方程中的函数f(x,y)可写成的函数,即,则称这方程为齐次方程.下列方程哪些是齐次方程?