程为 (2) 其中,光程取极值,要求上式对和的一阶导数为零.于是得(3) (4)只有当时,式才成立,所以点应位于轴上.即反射光线位于入射光线和法线构成的平面内.于是有其中:其次,证明异侧.由式知,方程的解为: 若,则、两点连线垂直与界面,入射光线、法线和反射光线三线合一;若则入射光线和折射光线分别位于法线两侧.最后,证明,由图1易知: (5)代入中,即得,在反射角和入射角的定义范围内可得,即反射角等于入射角.到此我们证明了反射定律符合费马原理中的光程取极值,但未证明取极小值.如图2所示,、为空间中指定的两点,为入射面与分界面交线.、分别为、在交线上的垂足.为证明反射定律光程取极小值,我们假设在分界面上存在两个折射点和,前者遵循反射定律,后者不遵循反射定律;过作入射光线的平行线和反射光线的垂线,同时分别过和分别作平行线的垂线和.(6) (7)(8)设路径的光程为,对应地光沿此路径从传播到所用时间为,与另一路径对应的相应物理量分别为和.于是有(9)(10)将代入上式有(11)最终的 (12)即.根据光程定义,得.至此,我们不但证明了反射定律符合费马原理取极值的条件,而且证明了光程取的是极小值.对于折射如图1所示,设平面是两均匀介质和的分界面,光线由介质1中指定的点经界面折射到达介质2中指定的点.为确定实际光线的路径,通过、两点作平面垂直于界面,轴是所作平面与分界面的交线.则实际光线在界面上的折射点就可用费马原理来确定.首先证明共面,即折射点在交线轴上.设三点的坐标分别为(,,0),(,,0),(,0,).、间光程为 (13) 其中,光程取极值,要求上式对和的一阶导数为零.于是得(14) (15)
全文预览
