标准化作业6

,x3)=5x12+5x22+cx32-2x1x2+6x1x3-6x2x3的秩为2,求c。Р(2) 设二次型f = 4x12+3x22+2x2x3+3x32Р①求一个正交变换将二次型化为标准形,并写出所用的正交变换;Р②用配平方法将二次型化为标准形,并写出所用的可逆线性变换;Р③用合同变换法将二次型化为标准形,并写出所用的可逆线性变换。Р(3) 求一正交变换,将二次型f(x1,x2,x3)=5x12+5x22-3x32-2x1x2+6x1x3-6x2x3化为标准形,并指出f(x1,x2,x3)=1表示何种二次曲面。Р(4) 已知二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32+2ax1x2+2x1x3+2bx2x3经过正交变换化为标准形f=y22+2y32,求参数a、b及所用的正交变换矩阵。Р(5) 求二次型f(x1,x2,x3)=x12+3x32+2x1x2+4x1x3+2x2x3的正、负惯性指数及符号差。Р Р (6) 设n元二次型Рf(x1,x2,…,xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2Р其中ai(i=1,2,…,n)为实数,试问当a1, a2,…,an-1, an满足什么条件时,二次型f(x1,x2,…,xn)正定二次型?Р四、证明题Р1、设f(x1,x2,…,xn)=xTAx 是一实二次型,λ1,λ2,…,λn是A的特征值,且λ1≤λ2 ≤…≤λn。证明对于任一实n维列向量x有Р λ1xTx≤xTAx ≤λn xTxР Р 2、设A是一个三阶实矩阵,若对任意3维列向量x,都有xTAx=0,则 A为反对称矩阵。Р3、设A是n阶正定矩阵,证明|A+2E|>2n。Р4、设Am×n矩阵,若R(A)=n,试证ATA为正定矩阵。Р5、设A为m阶的正定矩阵,B为m×n实阵,试证BTAB正定的充分必要条件是